問題は、式 $ \frac{ax+3}{x+2} = \frac{b}{x+2} + 6 $ が $x$ についての恒等式となるように定数 $a$ と $b$ の値を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、式 $\frac{ax+3}{x+2} = \frac{b}{x+2} + 6$ が $x$ についての恒等式となるように定数 $a$ と $b$ の値を求めるものです。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理して、恒等式の条件を適用します。

まず、与えられた式の右辺を通分します。

$$\frac{ax+3}{x+2} = \frac{b+6(x+2)}{x+2}$$

$$\frac{ax+3}{x+2} = \frac{b+6x+12}{x+2}$$

$$\frac{ax+3}{x+2} = \frac{6x+b+12}{x+2}$$

分母が等しいので、分子も等しくなければなりません。

$$ax+3 = 6x+b+12$$

この式が $x$ についての恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、

$$a = 6$$

$$3 = b+12$$

$3 = b+12$ を解くと、

$$b = 3-12$$

$$b = -9$$

3. 最終的な答え

$a=6$, $b=-9$