サイコロを2回投げ、出た目の数をそれぞれ $a$, $b$ とする。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解をもつ確率と、有理数の解をもつ確率を求める。

1. 問題の内容

サイコロを2回投げ、出た目の数をそれぞれ $a$, $b$ とする。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解をもつ確率と、有理数の解をもつ確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを2回投げる場合の数は $6 \times 6 = 36$ 通りである。

(1) 実数解をもつ条件

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解を持つための判別式 $D$ は、

$D = a^2 - 4b \geq 0$

である。したがって、$a^2 \geq 4b$ を満たす $a, b$ の組み合わせを数える。

$a=1$ のとき、$a^2 = 1 \geq 4b$ は成り立たない。

$a=2$ のとき、$a^2 = 4 \geq 4b$ より、$b \leq 1$ なので、$b=1$。

$a=3$ のとき、$a^2 = 9 \geq 4b$ より、$b \leq \frac{9}{4} = 2.25$ なので、$b=1, 2$。

$a=4$ のとき、$a^2 = 16 \geq 4b$ より、$b \leq \frac{16}{4} = 4$ なので、$b=1, 2, 3, 4$。

$a=5$ のとき、$a^2 = 25 \geq 4b$ より、$b \leq \frac{25}{4} = 6.25$ なので、$b=1, 2, 3, 4, 5, 6$。

$a=6$ のとき、$a^2 = 36 \geq 4b$ より、$b \leq \frac{36}{4} = 9$ なので、$b=1, 2, 3, 4, 5, 6$。

したがって、$a^2 \geq 4b$ となる $(a, b)$ の組は、

$(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$ の19組。

実数解をもつ確率は $\frac{19}{36}$ である。

(2) 有理数解をもつ条件

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が有理数解を持つためには、$D = a^2 - 4b$ が平方数である必要がある。

$D = a^2 - 4b = k^2$ （$k$は整数）を満たす $a, b$ の組み合わせを数える。

$a=1$ のとき、$1 - 4b = k^2$ となる $b$ は存在しない。

$a=2$ のとき、$4 - 4b = k^2$ より、$b = 1 - \frac{k^2}{4}$。$b$ が整数となるのは、$k = 0$ のとき $b = 1$。

$a=3$ のとき、$9 - 4b = k^2$ より、$b = \frac{9 - k^2}{4}$。$b$ が整数となるのは、$k = 1$ のとき $b = 2$、$k = 3$ のとき $b = 0$（不適）。

$a=4$ のとき、$16 - 4b = k^2$ より、$b = \frac{16 - k^2}{4}$。$b$ が整数となるのは、$k = 0$ のとき $b = 4$、$k = 2$ のとき $b = 3$、$k = 4$ のとき $b = 0$（不適）。

$a=5$ のとき、$25 - 4b = k^2$ より、$b = \frac{25 - k^2}{4}$。$b$ が整数となるのは、$k = 1$ のとき $b = 6$、$k = 3$ のとき $b = 4$、$k = 5$ のとき $b = 0$（不適）。

$a=6$ のとき、$36 - 4b = k^2$ より、$b = \frac{36 - k^2}{4}$。$b$ が整数となるのは、$k = 0$ のとき $b = 9$（不適）、$k = 2$ のとき $b = 8$（不適）、$k = 4$ のとき $b = 5$、$k = 6$ のとき $b = 0$（不適）。

したがって、$a^2 - 4b$ が平方数となる $(a, b)$ の組は、

$(2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5)$ の7組。

有理数解をもつ確率は $\frac{7}{36}$ である。

3. 最終的な答え

実数解をもつ確率は $\frac{19}{36}$

有理数解をもつ確率は $\frac{7}{36}$