$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3)$を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3)$を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(k+1)(k+3)$を展開します。

$(k+1)(k+3) = k^2 + 4k + 3$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 4k + 3)$

この和を３つの和に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 4k + 3) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

それぞれの和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 4k + 3) = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 3n$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + 3n$

$= \frac{1}{6}n[(n+1)(2n+1) + 12(n+1) + 18]$

$= \frac{1}{6}n[2n^2 + 3n + 1 + 12n + 12 + 18]$

$= \frac{1}{6}n[2n^2 + 15n + 31]$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}n(2n^2+15n+31)$