$(x + 2y - 2z)^7$ を展開したとき、$xy^3z^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x + 2y - 2z)^7$ を展開したとき、$xy^3z^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

多項定理を用いて展開式を考えます。$(x + 2y - 2z)^7$ の展開式の一般項は

$$\frac{7!}{p!q!r!} x^p (2y)^q (-2z)^r$$

ここで、$p, q, r$ は非負の整数で、 $p+q+r=7$ を満たします。

$xy^3z^3$ の項を考えるので、$p=1, q=3, r=3$ となります。このとき、 $p+q+r = 1+3+3 = 7$ なので条件を満たします。

したがって、求める係数は

$$\frac{7!}{1!3!3!} \cdot 2^3 \cdot (-2)^3$$

$$= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} \cdot 8 \cdot (-8)$$

$$= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{6} \cdot 8 \cdot (-8)$$

$$= 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (-64)$$

$$= 140 \cdot (-64) = -8960$$

3. 最終的な答え

$-8960$