(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。 (2) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を、$x$ 軸, $y$ 軸, 原点に関してそれぞれ対称移動した放物線の方程式を求める。 (3) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 3x - k$ が接するとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

(2) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を、$x$ 軸, $y$ 軸, 原点に関してそれぞれ対称移動した放物線の方程式を求める。

(3) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 3x - k$ が接するとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y - q = f(x - p)$ となる。

与えられた放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると、

$y - (-1) = (x - 2)^2 - 2(x - 2) + 2$

$y + 1 = x^2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 2$

$y = x^2 - 6x + 9$

(2) 対称移動

$y = 2x^2 - 4x + 1$ を

- $x$ 軸に関して対称移動すると、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = 2x^2 - 4x + 1$

$y = -2x^2 + 4x - 1$

- $y$ 軸に関して対称移動すると、$x$ を $-x$ に置き換える。

$y = 2(-x)^2 - 4(-x) + 1$

$y = 2x^2 + 4x + 1$

- 原点に関して対称移動すると、$x$ を $-x$, $y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = 2(-x)^2 - 4(-x) + 1$

$-y = 2x^2 + 4x + 1$

$y = -2x^2 - 4x - 1$

(3) 接する条件

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 3x - k$ が接するとき、2つの方程式を連立させて得られる2次方程式が重解を持つ。

$x^2 = 3x - k$

$x^2 - 3x + k = 0$

この2次方程式の判別式 $D = (-3)^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k$ が 0 となればよい。

$9 - 4k = 0$

$4k = 9$

$k = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 6x + 9$

(2) $x$ 軸に関して: $y = -2x^2 + 4x - 1$

$y$ 軸に関して: $y = 2x^2 + 4x + 1$

原点に関して: $y = -2x^2 - 4x - 1$

(3) $k = \frac{9}{4}$