多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $5$, $x-2$ で割った余りが $7$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $5$, $x-2$ で割った余りが $7$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$, 余りを $ax+b$ とおくと、

$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

剰余の定理より、

$P(1) = 5$

$P(2) = 7$

$x=1$ を代入すると、

$P(1) = (1-1)(1-2)Q(1) + a(1) + b = a+b = 5$

$x=2$ を代入すると、

$P(2) = (2-1)(2-2)Q(2) + a(2) + b = 2a+b = 7$

連立方程式

$a+b = 5$

$2a+b = 7$

を解く。

2式を引き算すると、$a = 2$

$a+b=5$ に代入して $2+b = 5$ より $b = 3$

したがって、余りは $2x+3$ となる。

3. 最終的な答え

$2x+3$