2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 1$ の $0 < x \leq 2$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 - 4x + 1$ の $0 < x \leq 2$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = 3x^2 - 4x + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 1$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - 3(\frac{2}{3})^2 + 1$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - 3 \cdot \frac{4}{9} + 1$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 1$

$y = 3(x - \frac{2}{3})^2 - \frac{1}{3}$

よって、頂点の座標は $(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ である。

次に、定義域 $0 < x \leq 2$ における最大値と最小値を求める。

軸 $x = \frac{2}{3}$ は定義域内にある。

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$y = -\frac{1}{3}$ （最小値）

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$ （最大値）

$x = 0$ は定義域に含まれないので、$x$ が $0$ に近づくにつれて $y$ の値は $1$ に近づく。したがって、$y=1$ となることはない。

したがって、定義域 $0 < x \leq 2$ における最小値は $x = \frac{2}{3}$ のとき $y = -\frac{1}{3}$ であり、最大値は $x = 2$ のとき $y = 5$ である。

3. 最終的な答え

最小値：$x = \frac{2}{3}$ のとき $y = -\frac{1}{3}$

最大値：$x = 2$ のとき $y = 5$