(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(1, 0)$, $(-2, 0)$, $(2, 8)$ を通るとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。 (2) 2点 $(-1, 4)$, $(5, 4)$ を通り、$x$ 軸に接する放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(1, 0)$, $(-2, 0)$, $(2, 8)$ を通るとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

(2) 2点 $(-1, 4)$, $(5, 4)$ を通り、$x$ 軸に接する放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

3つの点が与えられているので、それぞれの点の座標を2次関数の式に代入して、$a$, $b$, $c$ に関する連立方程式を立てて解きます。

点 $(1, 0)$ を代入すると、

$a(1)^2 + b(1) + c = 0$

$a + b + c = 0$ ...(1)

点 $(-2, 0)$ を代入すると、

$a(-2)^2 + b(-2) + c = 0$

$4a - 2b + c = 0$ ...(2)

点 $(2, 8)$ を代入すると、

$a(2)^2 + b(2) + c = 8$

$4a + 2b + c = 8$ ...(3)

(2) - (1) より、

$3a - 3b = 0$

$a = b$ ...(4)

(3) - (2) より、

$4b = 8$

$b = 2$

(4) より $a = 2$

(1) に代入すると、

$2 + 2 + c = 0$

$c = -4$

(2)

$x$軸に接することから、放物線の方程式は $y = a(x - p)^2$ の形と書けます。

2点 $(-1, 4)$ と $(5, 4)$ を通るので、

$a(-1 - p)^2 = 4$ ...(5)

$a(5 - p)^2 = 4$ ...(6)

(5) = (6) より、

$a(-1 - p)^2 = a(5 - p)^2$

$(-1 - p)^2 = (5 - p)^2$

$1 + 2p + p^2 = 25 - 10p + p^2$

$12p = 24$

$p = 2$

これを(5)に代入すると、

$a(-1 - 2)^2 = 4$

$9a = 4$

$a = \frac{4}{9}$

したがって、放物線の方程式は $y = \frac{4}{9}(x - 2)^2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = 2$, $c = -4$

(2) $y = \frac{4}{9}(x - 2)^2$