次の連立一次方程式を掃き出し法で解きます。 $ \begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 3x + 9y + 6z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立一次方程式を掃き出し法で解きます。

$$

\begin{cases}

x + 2y + 3z = 1 \\

3x + 9y + 6z = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & | & 1 \\

3 & 9 & 6 & | & 0

\end{pmatrix}

$$

次に、掃き出し法を用いて、行列を簡約化します。

2行目から1行目の3倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & | & 1 \\

3 - 3(1) & 9 - 3(2) & 6 - 3(3) & | & 0 - 3(1)

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & | & 1 \\

0 & 3 & -3 & | & -3

\end{pmatrix}

$$

2行目を3で割ります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & | & 1 \\

0 & 1 & -1 & | & -1

\end{pmatrix}

$$

1行目から2行目の2倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 - 2(0) & 2 - 2(1) & 3 - 2(-1) & | & 1 - 2(-1) \\

0 & 1 & -1 & | & -1

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 5 & | & 3 \\

0 & 1 & -1 & | & -1

\end{pmatrix}

$$

よって、連立一次方程式は次のようになります。

$$

\begin{cases}

x + 5z = 3 \\

y - z = -1

\end{cases}

$$

$x$と$y$について解くと、

$$

\begin{cases}

x = 3 - 5z \\

y = z - 1

\end{cases}

$$

となります。

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

x = 3 - 5z \\

y = z - 1 \\

z = z

\end{cases}

$$

ここで、$z$は任意の実数です。