放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に 6 だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られる。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、さらに $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に 6 だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られる。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動する。原点対称移動は $(x, y)$ を $(-x, -y)$ に変換することだから、

$-y = (-x)^2 + a(-x) + b$

$y = -x^2 + ax - b$

次に、$y = -x^2 + ax - b$ を $x$ 軸方向に 3、$y$ 軸方向に 6 だけ平行移動する。平行移動は $x$ を $x-3$、$y$ を $y-6$ に置き換えることだから、

$y - 6 = -(x - 3)^2 + a(x - 3) - b$

$y = -(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + 6x - 9 + ax - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + (6 + a)x - 3a - b - 3$

これが、$y = -x^2 + 4x - 7$ と一致するので、係数を比較して

$6 + a = 4$

$-3a - b - 3 = -7$

最初の式より、$a = 4 - 6 = -2$。

これを2番目の式に代入して、$-3(-2) - b - 3 = -7$。

$6 - b - 3 = -7$

$3 - b = -7$

$b = 3 + 7 = 10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$