数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2$, $a_{n+1}-1=3(a_n-1)$ で定義されている。 (1) $a_n-1=b_n$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2$, $a_{n+1}-1=3(a_n-1)$ で定義されている。

(1) $a_n-1=b_n$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_n - 1 = b_n$ であるから、$a_{n+1} - 1 = b_{n+1}$ となる。

与えられた漸化式 $a_{n+1}-1=3(a_n-1)$ に $a_n-1=b_n$ を代入すると、

$b_{n+1} = 3b_n$

これは数列 $\{b_n\}$ が公比 $3$ の等比数列であることを示している。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ である。

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ となる。

(2) $a_n - 1 = b_n$ より、$a_n = b_n + 1$ である。

(1) で $b_n = 3^{n-1}$ を求めたので、

$a_n = 3^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = 3^{n-1}$

(2) $a_n = 3^{n-1} + 1$