画像に含まれる4つの数学の問題を解きます。 問題16: 2次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の解を求めます。 問題17: 2次関数 $y = x^2 + ax - a + 3$ のグラフがx軸に接する時の定数 $a$ の値を求めます。 問題18(1): 2次不等式 $-x^2 + 5x - 3 > 0$ の解を求めます。 問題18(2): 連立不等式 $x^2 + 2x - 3 \le 0$ $3x^2 + 5x - 2 > 0$ の解を求めます。 問題19: 2次不等式 $x^2 + 2mx - m > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

画像に含まれる4つの数学の問題を解きます。

問題16: 2次方程式 $3x^2 - 6x + 2 = 0$ の解を求めます。

問題17: 2次関数 $y = x^2 + ax - a + 3$ のグラフがx軸に接する時の定数 $a$ の値を求めます。

問題18(1): 2次不等式 $-x^2 + 5x - 3 > 0$ の解を求めます。

問題18(2): 連立不等式

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

$3x^2 + 5x - 2 > 0$

の解を求めます。

問題19: 2次不等式 $x^2 + 2mx - m > 0$ の解がすべての実数となるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

問題16:

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で求められます。この問題では、$a = 3$, $b = -6$, $c = 2$ なので、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

問題17:

2次関数 $y = x^2 + ax - a + 3$ のグラフがx軸に接するということは、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となるということです。この問題では、$a = 1$, $b = a$, $c = -a + 3$ なので、

$D = a^2 - 4(1)(-a + 3) = a^2 + 4a - 12 = 0$

$(a + 6)(a - 2) = 0$

$a = -6, 2$

問題18(1):

2次不等式 $-x^2 + 5x - 3 > 0$ を $x^2 - 5x + 3 < 0$ と変形します。2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ の解は

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、不等式の解は $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

問題18(2):

連立不等式

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

$3x^2 + 5x - 2 > 0$

を解きます。

1つ目の不等式は $(x + 3)(x - 1) \le 0$ より $-3 \le x \le 1$

2つ目の不等式は $(3x - 1)(x + 2) > 0$ より $x < -2$ または $x > \frac{1}{3}$

したがって、連立不等式の解は $-3 \le x < -2$ または $\frac{1}{3} < x \le 1$

問題19:

2次不等式 $x^2 + 2mx - m > 0$ の解がすべての実数となる条件は、2次方程式 $x^2 + 2mx - m = 0$ の判別式 $D < 0$ となることです。

$D = (2m)^2 - 4(1)(-m) = 4m^2 + 4m = 4m(m + 1) < 0$

したがって、$-1 < m < 0$

3. 最終的な答え

問題16: $x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

問題17: $a = -6, 2$

問題18(1): $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$

問題18(2): $-3 \le x < -2$ または $\frac{1}{3} < x \le 1$

問題19: $-1 < m < 0$