与えられた3つの式をそれぞれ因数分解する。 (1) $ab^2 - a^2b + bc - ca$ (2) $xy - 1 + x - y$ (3) $a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 3$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ因数分解する。

(1) $ab^2 - a^2b + bc - ca$

(2) $xy - 1 + x - y$

(3) $a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 3$

2. 解き方の手順

(1)

$ab^2 - a^2b + bc - ca$を因数分解する。

まず、共通因数でくくれるところをくくり出す。

$ab^2 - a^2b = ab(b - a)$

$bc - ca = c(b - a)$

したがって、

$ab^2 - a^2b + bc - ca = ab(b - a) + c(b - a)$

$b-a$を共通因数としてくくり出す。

$ab^2 - a^2b + bc - ca = (b - a)(ab + c)$

(2)

$xy - 1 + x - y$を因数分解する。

項の順序を入れ替えて$xy+x-y-1$とする。

$x$でくくれるところとそうでないところを分けて考える。

$xy + x = x(y + 1)$

$-y - 1 = -(y + 1)$

したがって、

$xy - 1 + x - y = x(y + 1) - (y + 1)$

$y+1$を共通因数としてくくり出す。

$xy - 1 + x - y = (x - 1)(y + 1)$

(3)

$a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 3$を因数分解する。

まず、$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$である。

$-4a - 4b = -4(a + b)$である。

したがって、

$a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 3 = (a + b)^2 - 4(a + b) + 3$

$a + b = X$とおくと、

$(a + b)^2 - 4(a + b) + 3 = X^2 - 4X + 3$

$X^2 - 4X + 3 = (X - 1)(X - 3)$

$X$を$a + b$に戻すと、

$(X - 1)(X - 3) = (a + b - 1)(a + b - 3)$

したがって、

$a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 3 = (a + b - 1)(a + b - 3)$

3. 最終的な答え

(1) $(b - a)(ab + c)$

(2) $(x - 1)(y + 1)$

(3) $(a + b - 1)(a + b - 3)$