$a$を正の定数とし、関数$f(x) = -x^2 + 2x$（$0 \le x \le a$）の最小値を$m(a)$とします。放物線$f(x)$の頂点と軸、区間$[0, a]$の中央の値を求め、軸と区間の中央の値の大小で場合分けして、$m(a)$を求めます。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とし、関数$f(x) = -x^2 + 2x$（$0 \le x \le a$）の最小値を$m(a)$とします。放物線$f(x)$の頂点と軸、区間$[0, a]$の中央の値を求め、軸と区間の中央の値の大小で場合分けして、$m(a)$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を平方完成します。

$f(x) = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$

したがって、頂点は$(1, 1)$、軸は$x = 1$です。

区間$0 \le x \le a$の中央は$x = \frac{a}{2}$です。

(i) $0 < a < 2$のとき、つまり$\frac{a}{2} < 1$のとき、区間$[0, a]$で$f(x)$は単調減少であるため、$x = a$で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = -a^2 + 2a$

$m(a) = -a^2 + 2a + 0$

(ii) $a \ge 2$のとき、つまり$\frac{a}{2} \ge 1$のとき、区間$[0, a]$で$f(x)$は$x=1$のときに最小値をとります。$0 \le 1 \le a$なので、$m(a) = f(0)$です。

軸$x=1$を含んでいるので最小値は頂点ではなく区間の端点になります。

$x$の定義域は$0 \le x \le a$なので、軸$x=1$が定義域に入っているか否かで場合分けを行います。

* 軸が定義域に入っている場合$(a \ge 1)$

$f(x) = -(x-1)^2 + 1$より$x=1$で最大値$1$をとります。

$f(0) = 0$

$f(a) = -a^2 + 2a$

最小値$m(a)$は、$a \ge 2$のとき、$x=0$のときの値である$0$を取ります。

* 軸が定義域に入っていない場合$(0 < a < 1)$

$f(x) = -(x-1)^2 + 1$より$x=1$で最大値$1$をとります。

$f(0) = 0$

$f(a) = -a^2 + 2a$

$0<a<1$においては、単調減少のため、$x=a$のときに最小値$-a^2+2a$をとります。

$f(x)$は$x=1$を軸とする上に凸のグラフなので、$a \ge 2$のとき、区間$[0, a]$における最小値は、$x = a$ で取る$f(a) = -a^2 + 2a$ と、$x = 0$ で取る $f(0) = 0$ のいずれかになります。

$f(a) = 0$ となるのは、$a = 0, 2$ のときであるため、$a \ge 2$ の範囲では、$f(a) \le 0 = f(0)$ となり、$m(a) = -a^2 + 2a$となります。

(i) $0 < a < 2$のとき、$m(a) = -a^2 + 2a$

(ii) $a \ge 2$のとき、$m(a) = -a^2 + 2a$

3. 最終的な答え

ア: (1, 1)

イ: 1

ウ: a/2

エ: 2

オ: -1

カ: 2

キ: 0

ク: -1

ケ: 2

コ: 0