区間 $a \le x \le a+1$ における2次関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を、条件 $a+1 < 0$ の下で、$0 < a$、$a \le 0 \le a+1$、$a+1 < 0$ の3つの場合に分けて求める問題です。

1. 問題の内容

区間 $a \le x \le a+1$ における2次関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を、条件 $a+1 < 0$ の下で、$0 < a$、$a \le 0 \le a+1$、$a+1 < 0$ の3つの場合に分けて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a+1<0$ という条件より、$a < -1$ であることに注意します。この条件下で、以下の各場合における $m(a)$ を求めます。

* 0 < a のとき: これは$a < -1$ に矛盾するため、この場合は存在しません。したがって、$m(a)$ は定義されません。

* $a \le 0 \le a+1$ のとき: 区間 $[a, a+1]$ が $x=0$ を含むので、$x=0$ で最小値をとります。したがって、$f(0) = 0^2 = 0$ が最小値となります。

* $a+1 < 0$ のとき: これは$a < -1$と同じ条件になります。 $a<x<a+1$ の範囲で2次関数は減少するので、$x=a+1$ で最小値をとります。したがって、$f(a+1) = (a+1)^2$ が最小値となります。

以上より、$m(a)$ は以下のようになります。

$0 < a$ のとき: 該当なし

$a \le 0 \le a+1$ のとき: $m(a) = 0$

$a+1 < 0$ のとき: $m(a) = (a+1)^2$

3. 最終的な答え

エ: a+1

オ: 該当なし

カ: 0

キ: (a+1)^2