実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) の最小値を $m(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点と軸、区間の中央の値を求め、$a$ の範囲によって $m(a)$ を場合分けして求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) の最小値を $m(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点と軸、区間の中央の値を求め、$a$ の範囲によって $m(a)$ を場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -2x^2 + 4x + 1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -2(x-1)^2 + 2 + 1 = -2(x-1)^2 + 3$

よって、$f(x)$ のグラフは、頂点が $(1, 3)$ で、直線 $x = 1$ を軸にもつ放物線である。

区間 $a \le x \le a+1$ の中央は $x = \frac{a + (a+1)}{2} = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$ である。

$x=1$（軸）と $x = a + \frac{1}{2}$ の大小で場合分けする。すなわち、$1$ と $a + \frac{1}{2}$ の大小で場合分けする。

(i) $a + \frac{1}{2} < 1$ のとき、つまり、$a < \frac{1}{2}$ のとき：

区間 $a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は単調減少である。したがって、最小値は $x = a+1$ のときにとる。

$m(a) = f(a+1) = -2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = -2(a^2 + 2a + 1) + 4a + 4 + 1 = -2a^2 - 4a - 2 + 4a + 5 = -2a^2 + 3$

(ii) $a + \frac{1}{2} \ge 1$ のとき、つまり、$a \ge \frac{1}{2}$ のとき：

区間 $a \le x \le a+1$ で、$f(x)$ は $x=1$ で最小値をとる可能性があるので、$a \le 1 \le a+1$ を満たすとき、$x=1$ で最小となる。

$a \le 1$ かつ $1 \le a+1$ なので、 $a \le 1$ かつ $0 \le a$。よって $a \le 1$。

この範囲で、$f(x)$ の最小値は $f(1) = 3$ となる。

ここで、(ii)の条件は、$a \ge \frac{1}{2}$ である。

区間の端点が $a, a+1$ であり、軸が $x=1$ であることを考慮する。

(ii-1) $\frac{1}{2} \le a \le 1$のとき：$f(x)$ の最小値は、$f(1) = 3$ である。

(ii-2) $a > 1$のとき：$f(x)$ は区間 $a \le x \le a+1$ で単調減少であり、最小値は $f(a+1) = -2a^2 + 3$ である。

しかし、(ii)の答えは、$m(a) = (\text{ク})a^2 + (\text{ケ})a + (\text{コ})$ の形である必要がある。

もし区間 $a \le x \le a+1$ が $x=1$ を含んでいなければ、$x=a$ で最小値をとる。

$f(a) = -2a^2 + 4a + 1$

ここで、$a \ge \frac{1}{2}$ であるので、$x=a$で最小となるのは、$a+1 \le 1$を満たすとき。

$a+1 \le 1 \implies a \le 0$ なので、この条件はありえない。

したがって、$a \ge \frac{1}{2}$ のとき最小値は $x=a+1$の時となる。

$f(a+1)=-2(a+1)^2+4(a+1)+1=-2(a^2+2a+1)+4a+4+1 = -2a^2 - 4a -2 + 4a + 5 = -2a^2 + 3$

3. 最終的な答え

* ア：(1, 3)

* イ：1

* ウ：$a + \frac{1}{2}$

* エ：$\frac{1}{2}$

* オ：-2

* カ：0

* キ：3

* ク：-2

* ケ：0

* コ：3