二次関数 $f(x) = x^2$ の区間 $a \leq x \leq a+1$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。$x = a + \frac{1}{2}$ が区間の中央を表しており、$0$ と $a+\frac{1}{2}$ の大小で場合分けをする必要があります。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = x^2$ の区間 $a \leq x \leq a+1$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。$x = a + \frac{1}{2}$ が区間の中央を表しており、$0$ と $a+\frac{1}{2}$ の大小で場合分けをする必要があります。

2. 解き方の手順

(2) より、$M(a)$ は $f(x)$ に $a+1$ を代入した値に等しいことがわかります。したがって $f(a+1) = (a+1)^2$ となります。これは、$0 \le a+\frac{1}{2}$ の場合において最大値が $x=a+1$ でとられるからです。

次に、$0 > a+\frac{1}{2}$ の場合を考えます。この時、$a + 1 < \frac{1}{2}$ となるため、区間 $a \leq x \leq a+1$ は原点から遠ざかります。この場合、$x=a$ で最大値をとります。

したがって、$M(a) = f(a) = a^2$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le a+\frac{1}{2}$ のとき、$M(a) = (a+1)^2$

$0 > a+\frac{1}{2}$ のとき、$M(a) = a^2$