$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$を、$a$の値によって場合分けして求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$を、$a$の値によって場合分けして求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 2 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = -(x-1)^2 + 1 + 2 = -(x-1)^2 + 3$

よって、$f(x)$ のグラフは、頂点が$(1, 3)$ で、直線 $x=1$ を軸にもつ上に凸な放物線である。

(i) $a < 1$ のとき

さらに場合分けが必要。

(i-a) $a+1 \le 1$, つまり $a \le 0$ のとき

$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は単調増加なので、$x = a+1$ で最大値をとる。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 2(a+1) + 2 = -(a^2 + 2a + 1) + 2a + 2 + 2 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 4 = -a^2 + 3$

(i-b) $a < 1 < a+1$, つまり $0 < a < 1$ のとき

$a \le x \le a+1$ の範囲に頂点 $x=1$ が含まれるので、$x=1$ で最大値をとる。

$M(a) = f(1) = 3$

(ii) $a \ge 1$ のとき

$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は単調減少なので、$x=a$ で最大値をとる。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 2a + 2$

まとめる。

(i) $a < 1$ のとき

さらに場合分けが必要。

(i-a) $a \le 0$ のとき

$M(a) = -a^2 + 3$

(i-b) $0 < a < 1$ のとき

$M(a) = 3$

(ii) $a \ge 1$ のとき

$M(a) = -a^2 + 2a + 2$

さらに場合分けをまとめる。

(i) $a \le 0$ のとき

$M(a) = -a^2 + 3$

(ii) $0 < a < 1$ のとき

$M(a) = 3$

(iii) $a \ge 1$ のとき

$M(a) = -a^2 + 2a + 2$

したがって、

(i) $a < 0$ のとき

$M(a) = -a^2 + 3$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき

$M(a) = 3$

(iii) $a > 1$ のとき

$M(a) = -a^2 + 2a + 2$

3. 最終的な答え

ア: (1, 3)

イ: 1

ウ: 0

エ: -1

オ: 0

カ: 3

キ: 1

ク: 0

ケ: 0

コ: 3

サ: -1

シ: 2

ス: 2