実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点と軸、区間の中央の値を求め、$a$ の範囲によって $M(a)$ を場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。$f(x)$ のグラフの頂点と軸、区間の中央の値を求め、$a$ の範囲によって $M(a)$ を場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 4x + 1$ を平方完成します。

$f(x) = (x-2)^2 - 3$

よって、頂点は (2, -3) であり、軸は $x=2$ です。

区間 $a \le x \le a+1$ の中央は $x = \frac{a + (a+1)}{2} = a + \frac{1}{2}$ です。

軸 $x=2$ と区間の中央 $x=a+\frac{1}{2}$ の大小で場合分けします。

(i) $a + \frac{1}{2} < 2$ つまり $a < \frac{3}{2}$ のとき、

区間 $a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は単調減少となるので、$x=a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = a^2 - 4a + 1$

(ii) $a + \frac{1}{2} \ge 2$ つまり $a \ge \frac{3}{2}$ のとき、

区間 $a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は単調増加となるので、$x=a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 1 = a^2 - 2a - 2$

まとめると、

(i) $a < \frac{3}{2}$ のとき $M(a) = a^2 - 4a + 1$

(ii) $a \ge \frac{3}{2}$ のとき $M(a) = a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

ア: (2, -3)

イ: 2

ウ: $a + \frac{1}{2}$

エ: $\frac{3}{2}$

オ: 1

カ: -4

キ: 1

ク: 1

ケ: -2

コ: -2