$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を、$\sum$ の性質を用いて分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

定数倍は $\sum$ の外に出せるので、

$\sum_{k=1}^{n} 5k = 5\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$

これらの結果を元の式に代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{8n}{2}$

$= \frac{5n^2+5n+8n}{2}$

$= \frac{5n^2+13n}{2}$

$= \frac{n(5n+13)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+13)}{2}$