(ア) $a + \frac{1}{a} = \sqrt{5}$ のとき、$a+a^2+a^3+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}$ の値を求めよ。 (イ) $x+y=1, x^3+y^3=7$ であるとき、$xy$, $x^2+y^2$, $x^5+y^5$ の値を求めよ。 (ウ) $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(ア) $a + \frac{1}{a} = \sqrt{5}$ のとき、$a+a^2+a^3+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3}$ の値を求めよ。

(イ) $x+y=1, x^3+y^3=7$ であるとき、$xy$, $x^2+y^2$, $x^5+y^5$ の値を求めよ。

(ウ) $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア)

$a + \frac{1}{a} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗すると

$(a + \frac{1}{a})^2 = (\sqrt{5})^2$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 5$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 3$

$a + \frac{1}{a} = \sqrt{5}$ の両辺を3乗すると

$(a + \frac{1}{a})^3 = (\sqrt{5})^3$

$a^3 + 3a^2(\frac{1}{a}) + 3a(\frac{1}{a^2}) + \frac{1}{a^3} = 5\sqrt{5}$

$a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3} = 5\sqrt{5}$

$a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(a + \frac{1}{a}) = 5\sqrt{5}$

$a^3 + \frac{1}{a^3} + 3(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5}$

$a^3 + \frac{1}{a^3} = 2\sqrt{5}$

よって、

$a+a^2+a^3+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a}) + (a^2 + \frac{1}{a^2}) + (a^3 + \frac{1}{a^3})$

$= \sqrt{5} + 3 + 2\sqrt{5} = 3 + 3\sqrt{5}$

(イ)

$x+y=1$

$x^3+y^3=7$

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$

$1^3 = 7 + 3xy(1)$

$1 = 7 + 3xy$

$3xy = -6$

$xy = -2$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$1^2 = x^2 + y^2 + 2(-2)$

$1 = x^2+y^2 - 4$

$x^2+y^2 = 5$

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1 - 2xy = 5 \implies -2xy = 4 \implies xy = -2$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 1(1^2 - 3(-2)) = 1 + 6 = 7$

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y)$

$= (5)(7) - (-2)^2(1) = 35 - 4 = 31$

(ウ)

$x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{xy+yz+zx}{xyz} = 1$

$xy+yz+zx = xyz$

$(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y)(yz+z^2+xy+xz) = xyz+xz^2+x^2y+x^2z+y^2z+yz^2+xy^2+xyz = 2xyz + xz^2 + x^2z+y^2z+yz^2 + x^2y+xy^2$

$= 2xyz + (xz^2+yz^2) + (x^2z+y^2z) + (x^2y+xy^2)$

$= 2xyz + z^2(x+y) + z(x^2+y^2) + xy(x+y)$

$= 2xyz + xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x)$

$(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z-z)(x+y+z-x)(x+y+z-y) = (1-z)(1-x)(1-y)$

$= 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz = 1 - 1 + xyz - xyz = 0$

$(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z)(xy+yz+zx) - xyz$

$= (1)(xyz) - xyz = 0$

3. 最終的な答え

(ア) $3 + 3\sqrt{5}$

(イ) $xy = -2$, $x^2+y^2 = 5$, $x^5+y^5 = 31$

(ウ) 0