問題は、与えられた2次方程式が指定された解を持つとき、定数 $p$ の値を求め、もう一つの解を求めるというものです。今回は(2)の問題 $3x^2+7x+p=0$ が $x=\frac{2}{3}$ を解の一つに持つ時の $p$ の値と、もう一つの解を求めることにします。

1. 問題の内容

問題は、与えられた2次方程式が指定された解を持つとき、定数 $p$ の値を求め、もう一つの解を求めるというものです。今回は(2)の問題 $3x^2+7x+p=0$ が $x=\frac{2}{3}$ を解の一つに持つ時の $p$ の値と、もう一つの解を求めることにします。

2. 解き方の手順

まず、$x=\frac{2}{3}$ が解であることから、$x=\frac{2}{3}$ を方程式に代入して $p$ の値を求めます。

$3(\frac{2}{3})^2 + 7(\frac{2}{3}) + p = 0$

計算を整理すると、

$3(\frac{4}{9}) + \frac{14}{3} + p = 0$

$\frac{4}{3} + \frac{14}{3} + p = 0$

$\frac{18}{3} + p = 0$

$6 + p = 0$

したがって、$p = -6$ となります。

次に、$p=-6$ を方程式に代入して、もう一つの解を求めます。

$3x^2 + 7x - 6 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解を利用して解くと、

$(3x - 2)(x + 3) = 0$

よって、$x = \frac{2}{3}, -3$ となります。$\frac{2}{3}$ がすでに与えられた解なので、もう一つの解は $x = -3$ です。

3. 最終的な答え

$p = -6$

もう一つの解は $x = -3$