(4) $\sqrt{2024n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ の値を求める。 (5) 2次方程式 $x^2 - 2x - 7 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(4) $\sqrt{2024n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ の値を求める。

(5) 2次方程式 $x^2 - 2x - 7 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(4)

まず、2024を素因数分解します。

$2024 = 2 \times 1012 = 2 \times 2 \times 506 = 2 \times 2 \times 2 \times 253 = 2^3 \times 11 \times 23$

したがって、$\sqrt{2024n} = \sqrt{2^3 \times 11 \times 23 \times n}$

$\sqrt{2024n}$が整数になるためには、根号の中が平方数である必要があります。

そのためには、$n$が $2 \times 11 \times 23$ の倍数である必要があります。

最小の自然数 $n$ は $n = 2 \times 11 \times 23 = 506$ です。

(5)

2次方程式 $x^2 - 2x - 7 = 0$ を解きます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

ここで、$a = 1$, $b = -2$, $c = -7$ です。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16 \times 2}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、解は $x = 1 + 2\sqrt{2}$ と $x = 1 - 2\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

(4) $n = 506$

(5) $x = 1 + 2\sqrt{2}, 1 - 2\sqrt{2}$