(イ) $x + y = 1$ のとき、$x^5 + y^5$ の値を求める。 (ウ) $x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求める。

1. 問題の内容

(イ) $x + y = 1$ のとき、$x^5 + y^5$ の値を求める。

(ウ) $x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(イ) $x+y = 1$ のとき、$x^5 + y^5$ を求める。

まず、以下の公式を利用する。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2 y^2 (x+y)$

$x+y = 1$ なので、$x^2 + y^2 = 1 - 2xy$

$x^3 + y^3 = 1 - 3xy$

$x^5 + y^5 = (1-2xy)(1-3xy) - x^2 y^2 = 1 - 5xy + 6x^2y^2 - x^2y^2 = 1 - 5xy + 5x^2y^2$

$x^5+y^5 = (x+y)^5 - 5xy(x+y)^3 + 5x^2y^2(x+y) = 1 - 5xy + 5x^2y^2$

$x^5+y^5 = 1 - 5xy + 5(xy)^2$.

残念ながら、$xy$ の値が不明なので、これ以上簡単にできない。

$x+y = 1$ だけでは、$xy$ の値が一意に定まらない。

問題に不備がある可能性があります。例えば、$xy=0$ という条件があれば、$x^5+y^5=1$ となります。

ここでは、$x^5+y^5$ は、$xy$ の関数で表されることにとどめておきます。

(ウ) $x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ のとき、$(x+y)(y+z)(z+x)$ の値を求める。

$x + y + z = 1$ および $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ が与えられている。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz} = 1$

したがって、$xy + yz + zx = xyz$

$(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z-z)(x+y+z-x)(x+y+z-y) = (1-z)(1-x)(1-y)$

$= (1-x-z+xz)(1-y) = 1 - x - z + xz - y + xy + yz - xyz = 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz$

$= 1 - 1 + xyz - xyz = 0$

3. 最終的な答え

(イ) $x^5 + y^5 = 1 - 5xy + 5x^2y^2$

(ウ) $(x+y)(y+z)(z+x) = 0$