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与えられた4次式 $x^4 - 10x^2 + 9$ を因数分解する問題です。

代数学因数分解4次式多項式
2025/6/21

1. 問題の内容

与えられた4次式 x4−10x2+9x^4 - 10x^2 + 9 を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この式は、x2x^2 を新しい変数 XX と置くことで、2次式に変形できます。
X=x2X = x^2 とすると、与えられた式は次のようになります。
X2−10X+9X^2 - 10X + 9
この2次式を因数分解します。掛け算して9になり、足し算して-10になる2つの数は-1と-9なので、
X2−10X+9=(X−1)(X−9)X^2 - 10X + 9 = (X - 1)(X - 9)
ここで、X=x2X = x^2 を代入して元に戻すと、
(x2−1)(x2−9)(x^2 - 1)(x^2 - 9)
さらに、x2−1x^2 - 1 と x2−9x^2 - 9 はそれぞれ2乗の差の形なので、因数分解できます。
x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
したがって、
(x2−1)(x2−9)=(x−1)(x+1)(x−3)(x+3)(x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)

3. 最終的な答え

(x−1)(x+1)(x−3)(x+3)(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)

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