与えられた式 $x^6 - 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x^6 - 1$ は、まず $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の公式を利用して因数分解できます。

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 + 1)(x^3 - 1)$

次に、$x^3 + 1$ と $x^3 - 1$ をそれぞれ因数分解します。

$x^3 + 1$ は $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$ の公式を、$x^3 - 1$ は $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

したがって、$x^6 - 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$となります。

通常、$(x-1)(x+1)$を$(x^2-1)$とまとめることが多いので、以下のようにします。

$x^6 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

または

$(x^2 - 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$