与えられた式 $x^2 + xy - 12y^2 + 4x + 9y + 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 12y^2 + 4x + 9y + 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ についての2次式と見て整理する。

$x^2 + (y+4)x - (12y^2 - 9y - 3)$

次に、定数項 $12y^2 - 9y - 3$ を因数分解する。

$12y^2 - 9y - 3 = 3(4y^2 - 3y - 1) = 3(4y+1)(y-1)$

したがって、定数項は $-3(4y+1)(y-1)$ となる。

因数分解された式を $(x+Ay+B)(x+Cy+D)$ とおくと、

$x^2 + (A+C)xy + ACy^2 + (B+D)x + (AD+BC)y + BD$

となる。

ここで、$A+C=1$、$AC=-12$、$B+D=4$、$AD+BC=9$、$BD=3$

を満たす $A, C, B, D$ を見つける。

$A = 4, C = -3$ とすると、$A+C = 1$, $AC = -12$ を満たす。

$B = 1, D = 3$ とすると、$B+D = 4$, $BD = 3$ を満たす。

$AD + BC = 4(3) + 1(-3) = 12 - 3 = 9$ となり、条件を満たす。

したがって、与えられた式は $(x+4y+1)(x-3y+3)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(x+4y+1)(x-3y+3)$