不等式 $1-x \le 4x+7 \le x+3a$ を満たす整数 $x$ がただ1つだけ存在するように、整数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

不等式 $1-x \le 4x+7 \le x+3a$ を満たす整数 $x$ がただ1つだけ存在するように、整数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を二つの不等式に分割します。

$1-x \le 4x+7$ と $4x+7 \le x+3a$。

一つ目の不等式から、$1-x \le 4x+7$ を解きます。

$1-7 \le 4x+x$

$-6 \le 5x$

$x \ge -\frac{6}{5} = -1.2$

二つ目の不等式から、$4x+7 \le x+3a$ を解きます。

$4x-x \le 3a-7$

$3x \le 3a-7$

$x \le \frac{3a-7}{3} = a - \frac{7}{3}$

したがって、$x$ の範囲は $-\frac{6}{5} \le x \le \frac{3a-7}{3}$ となります。

この範囲を満たす整数 $x$ がただ一つだけ存在するので、その整数を $n$ とすると、$n$ は $-1.2$ 以上、$a - \frac{7}{3}$ 以下の唯一の整数になります。

つまり、$n \le a - \frac{7}{3} < n+1$ となります。

整数 $x$ が一つだけなので、$n = -1$ が必要です。

なぜなら $x \ge -1.2$ なので、最小の整数は -1 になるからです。

すると、$-1 \le a - \frac{7}{3} < 0$ となります。

この不等式を解きます。

$-1+\frac{7}{3} \le a < \frac{7}{3}$

$\frac{4}{3} \le a < \frac{7}{3}$

$1.333... \le a < 2.333...$

これを満たす整数 $a$ は $2$ のみです。

3. 最終的な答え

$a=2$