不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.001$ の両辺の常用対数を取ります。

$\log_{10}(\frac{1}{2})^n < \log_{10}0.001$

対数の性質を使って変形します。

$n \log_{10}(\frac{1}{2}) < \log_{10}10^{-3}$

$n (\log_{10}1 - \log_{10}2) < -3$

$n (0 - \log_{10}2) < -3$

$-n \log_{10}2 < -3$

問題文より、$\log_{10}2 = 0.3010$ なので、

$-0.3010n < -3$

両辺を $-0.3010$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$n > \frac{-3}{-0.3010}$

$n > \frac{3}{0.3010}$

$n > \frac{3000}{301}$

$\frac{3000}{301}$ を計算すると、約 $9.9667$ となります。

$n > 9.9667$

したがって、不等式を満たす最小の整数 $n$ は $10$ です。

3. 最終的な答え

10