数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 4$, $a_{n+1} = \frac{4a_n+3}{a_n+2}$ で定められている。 (1) $b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 4$, $a_{n+1} = \frac{4a_n+3}{a_n+2}$ で定められている。

(1) $b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

まず、$a_{n+1} = \frac{4a_n+3}{a_n+2}$ を $b_{n+1} = \frac{a_{n+1}-3}{a_{n+1}+1}$ に代入する。

$b_{n+1} = \frac{\frac{4a_n+3}{a_n+2}-3}{\frac{4a_n+3}{a_n+2}+1} = \frac{4a_n+3-3(a_n+2)}{4a_n+3+(a_n+2)} = \frac{4a_n+3-3a_n-6}{4a_n+3+a_n+2} = \frac{a_n-3}{5a_n+5} = \frac{a_n-3}{5(a_n+1)}$

ここで、$b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$ より、 $b_{n+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{a_n-3}{a_n+1} = \frac{1}{5} b_n$

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(1)より、$b_{n+1} = \frac{1}{5}b_n$ であるから、数列 $\{b_n\}$ は公比 $\frac{1}{5}$ の等比数列である。

$a_1 = 4$ より、$b_1 = \frac{a_1-3}{a_1+1} = \frac{4-3}{4+1} = \frac{1}{5}$

したがって、$b_n = b_1 \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{1}{5} \cdot (\frac{1}{5})^{n-1} = (\frac{1}{5})^n$

$b_n = \frac{a_n-3}{a_n+1}$ より、 $b_n(a_n+1) = a_n-3$ となる。

$a_n b_n + b_n = a_n - 3$

$a_n b_n - a_n = -3 - b_n$

$a_n(b_n-1) = -3 - b_n$

$a_n = \frac{-3-b_n}{b_n-1} = \frac{-3 - (\frac{1}{5})^n}{(\frac{1}{5})^n - 1} = \frac{-3 \cdot 5^n - 1}{1 - 5^n} = \frac{3 \cdot 5^n + 1}{5^n - 1}$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = \frac{1}{5}b_n$

(2) $a_n = \frac{3 \cdot 5^n + 1}{5^n - 1}$