与えられた式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x(x+1)} - \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x(x+1)} - \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、共通分母を求めます。共通分母は $x(x+1)(x+2)$ です。次に、各項を共通分母で書き換えます。

$\frac{1}{x} = \frac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{x+2}{x(x+1)(x+2)}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x}{x(x+1)(x+2)}$

したがって、与えられた式は次のように書き換えられます。

$\frac{(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)} - \frac{x+2}{x(x+1)(x+2)} - \frac{x}{x(x+1)(x+2)}$

分子をまとめます。

$\frac{(x+1)(x+2) - (x+2) - x}{x(x+1)(x+2)}$

分子を展開して簡略化します。

$\frac{x^2 + 3x + 2 - x - 2 - x}{x(x+1)(x+2)}$

$\frac{x^2 + x}{x(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$\frac{x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}$

共通因子 $x(x+1)$ を約分します。

$\frac{1}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x+2}$