整式 $f(x)$ を $x+5$ で割ると余りが $-11$、 $(x+2)^2$ で割ると余りが $x+3$ である。このとき、$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ を $x+5$ で割ると余りが $-11$、 $(x+2)^2$ で割ると余りが $x+3$ である。このとき、$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とすると、

$R(x)$ は 2 次以下の式で表される。

そこで、$R(x)=ax^2+bx+c$ とおく。

$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったとき、商を $Q(x)$ とすると、

$f(x) = (x+5)(x+2)^2Q(x) + R(x)$

$f(x) = (x+5)(x+2)^2Q(x) + ax^2+bx+c$

$f(x)$ を $x+5$ で割ると余りが $-11$ より、$f(-5) = -11$ である。

$f(-5) = a(-5)^2+b(-5)+c = 25a-5b+c=-11$

$f(x)$ を $(x+2)^2$ で割ると余りが $x+3$ より、$f(x) = (x+2)^2Q'(x) + x+3$ と表せる。

$(x+5)(x+2)^2Q(x) + ax^2+bx+c = (x+2)^2Q'(x) + x+3$

$a(x^2+4x+4) + bx+c = a(x+2)^2+bx+c = (x+2)^2Q'(x) - (x+5)(x+2)^2Q(x) + x+3$

$a(x+2)^2+bx+c = a(x^2+4x+4) + bx+c = ax^2 + 4ax + 4a + bx+c$

$f(x) = (x+5)(x+2)^2Q(x) + ax^2+bx+c = (x+2)^2[(x+5)Q(x) + a] + (x+3)$

$ax^2 + bx + c = a(x+2)^2 + (x+3)$

$R(x) = a(x+2)^2 + x+3 = ax^2 + (4a+1)x + (4a+3)$

したがって、$R(x) = ax^2+(4a+1)x+(4a+3)$ となる。

$R(x) = ax^2+bx+c$ と比較すると、$b = 4a+1, c = 4a+3$ となる。

$25a-5b+c = -11$ に代入すると、

$25a - 5(4a+1) + (4a+3) = -11$

$25a - 20a - 5 + 4a + 3 = -11$

$9a - 2 = -11$

$9a = -9$

$a = -1$

$b = 4a+1 = 4(-1)+1 = -3$

$c = 4a+3 = 4(-1)+3 = -1$

$R(x) = -x^2 -3x - 1$

3. 最終的な答え

$-x^2-3x-1$