整式 $P(x)$ が $(x-2)(x+3)$ で割ると余りが $5x-2$ であり、$(x-2)(x-3)$ で割ると余りが $-x+10$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+3)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が $(x-2)(x+3)$ で割ると余りが $5x-2$ であり、$(x-2)(x-3)$ で割ると余りが $-x+10$ である。このとき、$P(x)$ を $(x+3)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、問題文から以下の2式が得られる。

$P(x) = (x-2)(x+3)Q_1(x) + 5x-2$

$P(x) = (x-2)(x-3)Q_2(x) -x+10$

ここで、$P(x)$ を $(x+3)(x-3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x+3)(x-3)Q_3(x) + ax+b$

$P(2)$ の値を2通りの方法で計算する。

最初の式から、

$P(2) = (2-2)(2+3)Q_1(2) + 5(2)-2 = 0 + 10-2 = 8$

2番目の式から、

$P(2) = (2-2)(2-3)Q_2(2) -2+10 = 0 -2+10 = 8$

3番目の式から、

$P(x) = (x+3)(x-3)Q_3(x) + ax+b$　より、

$P(-3) = (-3+3)(-3-3)Q_3(-3) + a(-3)+b = -3a+b$

$P(3) = (3+3)(3-3)Q_3(3) + a(3)+b = 3a+b$

最初の式に $x=-3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q_1(-3) + 5(-3)-2 = 0 -15-2 = -17$

したがって、$-3a+b = -17$

2番目の式に $x=3$ を代入すると、

$P(3) = (3-2)(3-3)Q_2(3) -3+10 = 0 -3+10 = 7$

したがって、$3a+b = 7$

連立方程式

$-3a+b = -17$

$3a+b = 7$

を解く。2つの式を足すと、

$2b = -10$

$b = -5$

$3a - 5 = 7$

$3a = 12$

$a = 4$

したがって、余りは $4x-5$

3. 最終的な答え

$4x-5$