4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を、有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を、有理数、実数、複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ とおくと、与えられた式は

$y^2 + y - 12$

となる。これは、

$(y+4)(y-3)$

と因数分解できる。よって、

$x^4 + x^2 - 12 = (x^2+4)(x^2-3)$

となる。

(ア) 有理数の範囲での因数分解

$x^2-3$ を有理数の範囲で因数分解すると、$x^2-3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$となり、無理数が出てくるので、有理数の範囲では、$x^2-3$ は因数分解できない。

$x^2+4$ も同様に、$x^2+4 = (x-2i)(x+2i)$となり、虚数が出てくるので、有理数の範囲では、$x^2+4$ は因数分解できない。

したがって、有理数の範囲では、

$x^4 + x^2 - 12 = (x^2+4)(x^2-3)$

が答えとなる。

(イ) 実数の範囲での因数分解

$x^2+4$ は、$x^2+4 = 0$ となる解が $x = \pm 2i$ となり、実数ではないので、実数の範囲では、$x^2+4$ は因数分解できない。

$x^2-3$ については、$x^2-3 = 0$ となる解が $x = \pm \sqrt{3}$ となり、実数なので、実数の範囲で因数分解できる。

$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

したがって、実数の範囲では、

$x^4 + x^2 - 12 = (x^2+4)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

が答えとなる。

(ウ) 複素数の範囲での因数分解

$x^2+4 = 0$ となる解が $x = \pm 2i$ となり、複素数なので、複素数の範囲で因数分解できる。

$x^2+4 = (x - 2i)(x + 2i)$

したがって、複素数の範囲では、

$x^4 + x^2 - 12 = (x-2i)(x+2i)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

が答えとなる。

3. 最終的な答え

(ア) 有理数：$(x^2+4)(x^2-3)$

(イ) 実数：$(x^2+4)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

(ウ) 複素数：$(x-2i)(x+2i)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$