ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、放物線$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、放物線$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の逆変換を考えます。

$x$軸方向に1だけ平行移動した後の放物線が与えられているので、元の放物線を得るためには、$x$軸方向に-1だけ、そして$y$軸方向に2だけ平行移動すればよいことになります。

つまり、$x$を$x+1$に、$y$を$y-2$に置き換えることで、元の放物線の方程式が得られます。

$y = -2x^2 + 3x - 1$において、$x$を$x+1$に、$y$を$y-2$に置き換えると、

$y-2 = -2(x+1)^2 + 3(x+1) - 1$

これを展開して整理します。

$y-2 = -2(x^2 + 2x + 1) + 3x + 3 - 1$

$y-2 = -2x^2 - 4x - 2 + 3x + 2$

$y-2 = -2x^2 -x$

$y = -2x^2 - x + 2$

3. 最終的な答え

元の放物線の方程式は、$y = -2x^2 - x + 2$です。