ある放物線を$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動したところ、移動後の放物線が$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動したところ、移動後の放物線が$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の逆変換を考える。

$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動するということは、

移動前の放物線の点を$(x,y)$とすると、移動後の放物線の点は$(x+1, y-2)$となる。

つまり、移動後の放物線の方程式$y = -2x^2 + 3x - 1$において、

$x$を$x-1$に、$y$を$y+2$に置き換えることで、移動前の放物線の方程式が得られる。

$y+2 = -2(x-1)^2 + 3(x-1) - 1$

これを展開して整理する。

$y+2 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 1$

$y+2 = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 4$

$y+2 = -2x^2 + 7x - 6$

$y = -2x^2 + 7x - 8$

3. 最終的な答え

元の放物線の方程式は $y = -2x^2 + 7x - 8$