与えられた分数の式を簡略化します。式は $\frac{1}{k(k+1)}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡略化します。式は $\frac{1}{k(k+1)}$ です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を使って、与えられた分数をより簡単な二つの分数に分解します。

$\frac{1}{k(k+1)}$ を $\frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$ の形に分解することを考えます。

ここで、AとBは定数です。

両辺に $k(k+1)$ を掛けると、以下のようになります。

$1 = A(k+1) + Bk$

$1 = Ak + A + Bk$

$1 = (A+B)k + A$

この式が全ての $k$ に対して成り立つためには、以下の二つの式が成り立つ必要があります。

$A + B = 0$

$A = 1$

$A = 1$ を $A + B = 0$ に代入すると、

$1 + B = 0$

$B = -1$

したがって、元の分数は以下のように分解できます。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$