等比数列 $\{a_n\}$ について、一般項 $a_n$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。 (5) 初項 $a = -2$、第6項 $a_6 = -64$ (6) 第2項 $a_2 = 108$、第5項 $a_5 = -4$

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ について、一般項 $a_n$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

(5) 初項 $a = -2$、第6項 $a_6 = -64$

(6) 第2項 $a_2 = 108$、第5項 $a_5 = -4$

2. 解き方の手順

(5)の場合：

等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号です。

まず、公比 $r$ を求めます。$a_6 = ar^5$ より、$-64 = -2r^5$ となります。

$r^5 = 32$

$r = 2$

したがって、一般項は $a_n = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$ となります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いて求めます。

$S_n = \frac{-2(1-2^n)}{1-2} = \frac{-2(1-2^n)}{-1} = 2(1-2^n) = 2 - 2^{n+1}$

(6)の場合：

$a_2 = ar = 108$

$a_5 = ar^4 = -4$

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{ar^4}{ar} = r^3 = \frac{-4}{108} = -\frac{1}{27}$

$r = -\frac{1}{3}$

$a = \frac{108}{r} = \frac{108}{-\frac{1}{3}} = -324$

一般項は $a_n = -324(-\frac{1}{3})^{n-1}$ となります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いて求めます。

$S_n = \frac{-324(1-(-\frac{1}{3})^n)}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{-324(1-(-\frac{1}{3})^n)}{\frac{4}{3}} = -243(1-(-\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

(5)

一般項: $a_n = -2^n$

和: $S_n = 2 - 2^{n+1}$

(6)

一般項: $a_n = -324(-\frac{1}{3})^{n-1}$

和: $S_n = -243(1-(-\frac{1}{3})^n)$