(7) 第2項が4、第3項までの和が-6となる等比数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。 (8) 数列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ があり、$a_1, a_2, a_3$ はこの順に等比数列をなしその和は38である。また、$a_2, a_3, a_4$ はこの順に等差数列をなしその和は24である。このとき、$a_1, a_2, a_3, a_4$ を求めよ。

1. 問題の内容

(7) 第2項が4、第3項までの和が-6となる等比数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。

(8) 数列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ があり、$a_1, a_2, a_3$ はこの順に等比数列をなしその和は38である。また、$a_2, a_3, a_4$ はこの順に等差数列をなしその和は24である。このとき、$a_1, a_2, a_3, a_4$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(7)

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、第2項は $ar$、第3項は $ar^2$ で表される。

条件より、第2項が4なので、

$ar = 4$ (1)

第3項までの和が-6なので、

$a + ar + ar^2 = -6$ (2)

(1)より $a = \frac{4}{r}$ なので、(2)に代入して、

$\frac{4}{r} + 4 + 4r = -6$

両辺に $r$ をかけて、

$4 + 4r + 4r^2 = -6r$

$4r^2 + 10r + 4 = 0$

$2r^2 + 5r + 2 = 0$

$(2r+1)(r+2) = 0$

$r = -\frac{1}{2}, -2$

$r = -\frac{1}{2}$ のとき、 $a = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$

$r = -2$ のとき、 $a = \frac{4}{-2} = -2$

したがって、一般項 $a_n$ は、

$a_n = -8(-\frac{1}{2})^{n-1}$ または $a_n = -2(-2)^{n-1}$

(8)

$a_1, a_2, a_3$ は等比数列なので、$a_2 = a_1r$、$a_3 = a_1r^2$ と表せる。

$a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1r + a_1r^2 = 38$ (3)

$a_2, a_3, a_4$ は等差数列なので、$2a_3 = a_2 + a_4$ より、 $a_4 = 2a_3 - a_2 = 2a_1r^2 - a_1r$

$a_2 + a_3 + a_4 = a_1r + a_1r^2 + 2a_1r^2 - a_1r = 3a_1r^2 = 24$ (4)

(4)より、$a_1r^2 = 8$

(3)より、$a_1 + a_1r + a_1r^2 = a_1 + a_1r + 8 = 38$

$a_1 + a_1r = 30$

$a_1(1+r) = 30$

$a_1 = \frac{30}{1+r}$

$a_1r^2 = \frac{30r^2}{1+r} = 8$

$30r^2 = 8 + 8r$

$30r^2 - 8r - 8 = 0$

$15r^2 - 4r - 4 = 0$

$(3r-2)(5r+2) = 0$

$r = \frac{2}{3}, -\frac{2}{5}$

$r = \frac{2}{3}$ のとき、 $a_1 = \frac{30}{1+\frac{2}{3}} = \frac{30}{\frac{5}{3}} = 18$

$a_2 = a_1r = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

$a_3 = a_1r^2 = 18 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8$

$a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot 8 - 12 = 16 - 12 = 4$

$r = -\frac{2}{5}$ のとき、$a_1 = \frac{30}{1-\frac{2}{5}} = \frac{30}{\frac{3}{5}} = 50$

$a_2 = a_1r = 50 \cdot (-\frac{2}{5}) = -20$

$a_3 = a_1r^2 = 50 \cdot (-\frac{2}{5})^2 = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$

$a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot 8 - (-20) = 16 + 20 = 36$

3. 最終的な答え

(7) $a_n = -8(-\frac{1}{2})^{n-1}$ または $a_n = -2(-2)^{n-1}$

(8) $(a_1, a_2, a_3, a_4) = (18, 12, 8, 4)$ または $(50, -20, 8, 36)$