与えられた等差数列 $\{a_n\}$ に対して、一般項 $a_n$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。 (1) 初項 $a_1 = -6$、第9項 $a_9 = 10$ の場合 (2) 第3項 $a_3 = 20$、第8項 $a_8 = 15$ の場合

1. 問題の内容

与えられた等差数列 $\{a_n\}$ に対して、一般項 $a_n$ と初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

(1) 初項 $a_1 = -6$、第9項 $a_9 = 10$ の場合

(2) 第3項 $a_3 = 20$、第8項 $a_8 = 15$ の場合

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$、初項から第 $n$ 項までの和は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表されます。

(1)

初項 $a_1 = -6$、第9項 $a_9 = 10$ が与えられています。まず公差 $d$ を求めます。

$a_9 = a_1 + 8d$

$10 = -6 + 8d$

$16 = 8d$

$d = 2$

したがって、一般項 $a_n$ は

$a_n = a_1 + (n-1)d = -6 + (n-1)2 = -6 + 2n - 2 = 2n - 8$

次に、和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(-6 + 2n - 8) = \frac{n}{2}(2n - 14) = n(n-7) = n^2 - 7n$

(2)

第3項 $a_3 = 20$、第8項 $a_8 = 15$ が与えられています。まず公差 $d$ を求めます。

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_8 = a_1 + 7d$

$a_8 - a_3 = (a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 5d$

$15 - 20 = -5 = 5d$

$d = -1$

次に、初項 $a_1$ を求めます。

$a_3 = a_1 + 2d$

$20 = a_1 + 2(-1)$

$20 = a_1 - 2$

$a_1 = 22$

したがって、一般項 $a_n$ は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 22 + (n-1)(-1) = 22 - n + 1 = 23 - n$

次に、和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(22 + 23 - n) = \frac{n}{2}(45 - n) = \frac{45n - n^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

一般項: $a_n = 2n - 8$

和: $S_n = n^2 - 7n$

(2)

一般項: $a_n = 23 - n$

和: $S_n = \frac{45n - n^2}{2}$