次の和を求めます。 $1(2n-1) + 3(2n-3) + 5(2n-5) + \cdots + (2n-3)3 + (2n-1)1$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$1(2n-1) + 3(2n-3) + 5(2n-5) + \cdots + (2n-3)3 + (2n-1)1$

2. 解き方の手順

この数列の一般項を求め、和を計算します。数列は項数が $n$ の数列です。

第 $k$ 項は $(2k-1)(2n - (2k-1))$ と表せます。よって、数列の和は

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n - (2k-1)) = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n - 2k + 1)$

$= \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1)$

$= \sum_{k=1}^{n} (-4k^2 + (4n+4)k -2n-1)$

$= -4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + (4n+4) \sum_{k=1}^{n} k - (2n+1) \sum_{k=1}^{n} 1$

$= -4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (4n+4) \frac{n(n+1)}{2} - (2n+1)n$

$= -\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) + 2(n+1)n(n+1) - (2n+1)n$

$= \frac{1}{3}n [ -2(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2 - 3(2n+1) ]$

$= \frac{1}{3}n [ -2(2n^2+3n+1) + 6(n^2+2n+1) - 6n-3 ]$

$= \frac{1}{3}n [ -4n^2 -6n -2 + 6n^2 + 12n + 6 - 6n - 3 ]$

$= \frac{1}{3}n [ 2n^2 + 0n + 1 ]$

$= \frac{1}{3}n [ 2n^2 + 1 ]$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2+1)}{3}$