数列 $2, 3, 6, 15, 42, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 6, 15, 42, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

階差数列を考える。階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を計算する。

$b_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = 6 - 3 = 3$

$b_3 = 15 - 6 = 9$

$b_4 = 42 - 15 = 27$

階差数列は $1, 3, 9, 27, \dots$ となり、これは初項 $1$、公比 $3$ の等比数列である。

したがって、$b_n = 3^{n-1}$ となる。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^k = \frac{1 - 3^{n-1}}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{n-1}}{-2} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

したがって、

$a_n = 2 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{4 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3^{1-1} + 3}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$