次の和を求めよ。 $1\cdot(3n-2) + 3\cdot(3n-5) + 5\cdot(3n-8) + \dots + (2n-3)\cdot 4 + (2n-1)\cdot 1$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$1\cdot(3n-2) + 3\cdot(3n-5) + 5\cdot(3n-8) + \dots + (2n-3)\cdot 4 + (2n-1)\cdot 1$

2. 解き方の手順

与えられた数列の一般項を求め、和を計算する。

数列の一般項は $a_k = (2k-1)(3n - 3k + 1)$ で表される。ただし、$k$ は 1 から $n$ までの整数である。

求める和は、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(3n - 3k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (6nk - 6k^2 + 2k - 3n + 3k - 1) = \sum_{k=1}^{n} (6nk - 6k^2 + 5k - 3n - 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 6nk = 6n\sum_{k=1}^{n} k = 6n \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2(n+1) = 3n^3 + 3n^2$

$\sum_{k=1}^{n} 6k^2 = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n$

$\sum_{k=1}^{n} 5k = 5\sum_{k=1}^{n} k = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n^2 + 5n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} (3n+1) = (3n+1) \sum_{k=1}^{n} 1 = (3n+1)n = 3n^2 + n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (6nk - 6k^2 + 5k - 3n - 1) = (3n^3 + 3n^2) - (2n^3 + 3n^2 + n) + (\frac{5n^2 + 5n}{2}) - (3n^2 + n)$

$= n^3 - n + \frac{5n^2 + 5n}{2} - 3n^2 - n = n^3 + \frac{5n^2}{2} - 3n^2 + \frac{5n}{2} - 2n = n^3 - \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} = \frac{2n^3 - n^2 + n}{2}$

$= \frac{n(2n^2 - n + 1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2 - n + 1)}{2}$