与えられた数列 $\{a_n\}$: 1, 2, 4, 7, 11,... の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 1, 2, 4, 7, 11,... の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の階差数列を考えます。

元の数列を $a_n$、階差数列を $b_n$ とすると、

$b_n = a_{n+1} - a_n$ です。

与えられた数列の階差数列は次のようになります。

$b_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = 4 - 2 = 2$

$b_3 = 7 - 4 = 3$

$b_4 = 11 - 7 = 4$

...

階差数列 $\{b_n\}$ は、1, 2, 3, 4,... となり、これは等差数列で、$b_n = n$ と表せます。

数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (n >= 2) で求めることができます。

$a_1 = 1$ であり、$b_k = k$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、この式は $n=1$ のときにも成り立ちます。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ です。