与えられた数列 $1, 6, 17, 34, 57, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 6, 17, 34, 57, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の階差を調べて、規則性を見つけます。

* 初項: $a_1 = 1$

* 第1階差: $6 - 1 = 5, 17 - 6 = 11, 34 - 17 = 17, 57 - 34 = 23$

* 第2階差: $11 - 5 = 6, 17 - 11 = 6, 23 - 17 = 6$

第2階差が一定であるため、与えられた数列は2次式で表されると予想できます。

一般項を $a_n = An^2 + Bn + C$ とおき、初めの3項から係数 $A$, $B$, $C$ を求めます。

* $a_1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 1$

* $a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 6$

* $a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 17$

これらの連立方程式を解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$3A + B = 5$ ...(4)

3番目の式から2番目の式を引くと、

$5A + B = 11$ ...(5)

(5)から(4)を引くと、

$2A = 6$

$A = 3$

(4)に$A=3$を代入すると、

$3(3) + B = 5$

$9 + B = 5$

$B = -4$

$A + B + C = 1$ に $A = 3, B = -4$ を代入すると、

$3 - 4 + C = 1$

$-1 + C = 1$

$C = 2$

したがって、$a_n = 3n^2 - 4n + 2$ となります。

3. 最終的な答え

数列の一般項は $a_n = 3n^2 - 4n + 2$ です。