次の和を求めよ: $1\cdot2\cdot3 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot6\cdot7 + \dots + n\cdot2n(2n+1)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ:

$1\cdot2\cdot3 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot6\cdot7 + \dots + n\cdot2n(2n+1)$

2. 解き方の手順

求める和を $S$ とすると、

$S = \sum_{k=1}^{n} k(2k)(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} 2k^2(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 2k^2)$

したがって、

$S = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 2\sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

よって、

$S = 4\cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 2\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= n^2(n+1)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

$= n(n+1) \left[ n(n+1) + \frac{2n+1}{3} \right]$

$= n(n+1) \left[ \frac{3n^2+3n+2n+1}{3} \right]$

$= \frac{n(n+1)(3n^2+5n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(3n^2+5n+1)}{3}$