$\sum_{k=1}^{n} k(k+5)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} k(k+5)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sum$ の中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+5) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k)$

次に、$\sum$ を分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 5k$

定数は$\sum$の外に出せるので、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 5k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ はそれぞれ公式があるので、それを利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{15n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+15)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+16)}{6}$

$= \frac{2n(n+1)(n+8)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(n+8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+8)}{3}$