$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号の性質を用いて、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1) = \sum_{k=1}^{n} 6k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、定数倍のシグマの公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 6k^2 = 6 \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ の公式と$\sum_{k=1}^{n} 1$の公式は以下です。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらを元の式に代入します。

$6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n$

整理します。

$n(n+1)(2n+1) - n = n[(n+1)(2n+1) - 1] = n[2n^2 + 3n + 1 - 1] = n(2n^2 + 3n) = 2n^3 + 3n^2$

3. 最終的な答え

$2n^3 + 3n^2$