初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が-63である等比数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が-63である等比数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和$S_n$は

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

で表される。

問題文より、

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 9$

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = -63$

である。

$S_6$を$S_3$で割ると

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{-63}{9} = -7$

$1-r^6 = (1-r^3)(1+r^3)$より

$\frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 1+r^3 = -7$

$r^3 = -8$

$r$は実数なので、$r = -2$。

$S_3 = \frac{a(1-(-2)^3)}{1-(-2)} = \frac{a(1+8)}{3} = \frac{9a}{3} = 3a = 9$

したがって、$a = 3$。

一般項$a_n = ar^{n-1}$より

$a_n = 3(-2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3(-2)^{n-1}$