$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-5)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-5)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k-5)$ を展開します。

$(k-1)(k-5) = k^2 - 6k + 5$

次に、シグマの性質を使って、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-5) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5$

ここで、以下の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} c = nc$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 5n$

整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3n(n+1) + 5n = \frac{n}{6} [ (n+1)(2n+1) - 18(n+1) + 30 ]$

$= \frac{n}{6} [ 2n^2 + 3n + 1 - 18n - 18 + 30 ] = \frac{n}{6} [ 2n^2 - 15n + 13 ]$

$= \frac{n(2n^2 - 15n + 13)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2 - 15n + 13)}{6}$